Share This Article
Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени, в который нужно возвести число а чтобы получить число b.
Если , то .
Логарифм — крайне важная математическая величина, поскольку логарифмическое исчисление позволяет не только решать показательные уравнения, но и оперировать с показателями, дифференцировать показательные и логарифмические функции, интегрировать их и приводить к более приемлемому виду, подлежащему расчету.
Свойства логарифмов
Все свойства логарифмов связаны напрямую со свойствами показательных функций. Например, тот факт, что означает, что:
.
Следует заметить, что при решении конкретных задач, свойства логарифмов могут оказаться более важными и полезными, чем правила работы со степенями.
Приведем некоторые тождества:
;
;
.
Приведем основные алгебраические выражения:
;
;
;
.
[warning]Внимание! может существовать только при x>0, x≠1, y>0.[/warning]
Постараемся разобраться с вопросом, что такое натуральные логарифмы. Отдельный интерес в математике представляют два вида — первый имеет в основании число «10», и носит название «десятичный логарифм». Второй называется натуральным. Основание натурального логарифма — число «е». Именно о нем мы и будем детально говорить в этой статье.
Обозначения:
- lg x — десятичный;
- ln x — натуральный.
Используя тождество можно увидеть, что ln e = 1, как и то, что lg 10=1.
График натурального логарифма
Построим график натурального логарифма стандартным классическим способом по точкам. При желании, проверить правильно ли мы строим функцию, можно при помощи исследования функции. Однако, есть смысл научится строить его «вручную», чтобы знать, как правильно посчитать логарифм.
Функция: y = ln x. Запишем таблицу точек, через которые пройдет график:
| х | у |
| 1 | 0 |
| е | 1 |
| е2≈7,34 | 2 |
| 0,5 | |
| e-1≈0.36 | -1 |
Поясним, почему мы выбрали именно такие значения аргумента х. Всё дело в тождестве: . Для натурального логарифма это тождество будет выглядеть таким образом:
.
Для удобства мы можем взять пять опорных точек:
;
;
;
;
.
Как посчитать логарифмы от этих пяти значений? Очень просто, ведь:
;
;
;
;
;
.
Таким образом, подсчет натуральных логарифмов — довольно несложное занятие, более того, он упрощает подсчеты операций со степенями, превращая их в обычное умножение.
Построив по точкам график, получаем приблизительный график:
Область определения натурального логарифма (т.е. все допустимые значения аргумента Х) — все числа больше нуля.
[warning]Внимание! В область определения натурального логарифма входят только положительные числа! В область определения не входит х=0. Это невозможно исходя из условий существования логарифма .[/warning]
Область значений (т.е. все допустимые значения функции y = ln x) — все числа в интервале .
Предел натурального log
Изучая график, возникает вопрос — как ведет себя функция при y
